公理的音楽論みたいなのを考えたい
音楽理論を数学的に定めたいというお話です。
自分用メモなので眺める程度に。
Q. 公理的"音楽理論"じゃダメなの?
A. 公理的集合論とかあるからネーミングはそれに倣ってみただけ
定義定義アンド定義
$$
\mathbb{Z}_{12}:=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}
$$と定め、その要素を$$
\mathbb{Z}_{12}=\left\{[0],[1],\dots, [11]\right\}
$$とする。
いわゆる鍵盤の12音にあたる要素です。\mathbb{Z}_{12}:=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}
$$と定め、その要素を$$
\mathbb{Z}_{12}=\left\{[0],[1],\dots, [11]\right\}
$$とする。
一方で整数
次はスケールの定義です。
スケール
とし、
とする。
このとき、
に対して
を基準とする構造
のスケール
を$$
Scale(x, Str) := \left\{ x + s + 12n \mid s \in Str, n\in\mathbb{Z} \right\}
$$と定める。
また、
のときのスケールを特にメジャースケールと呼び、
を基準とするメジャースケールを
と書く。$$
MajScale(x) := Scale(x, \left\{0,2,4,5,7,9,11\right\})
$$
このとき、
Scale(x, Str) := \left\{ x + s + 12n \mid s \in Str, n\in\mathbb{Z} \right\}
$$と定める。
また、
MajScale(x) := Scale(x, \left\{0,2,4,5,7,9,11\right\})
$$
臨時記号の定義です。
これはまあそうだよねっていう感じのアレ
臨時記号
関数
を\begin{align}
\natural(x) &= x\\
\sharp(x) &= x+1\\
\flat(x) &= x-1
\end{align}と定める。
また、これらの関数の集合を$$
Acc := \left\{ \natural, \flat, \sharp \right\}
$$と定める。
関数
\natural(x) &= x\\
\sharp(x) &= x+1\\
\flat(x) &= x-1
\end{align}と定める。
また、これらの関数の集合を$$
Acc := \left\{ \natural, \flat, \sharp \right\}
$$と定める。
度数の定義。
音楽理論ではメジャースケールから定義されているためそれに倣っています。
度数
が\begin{align}
x&\leqq y\\
y&\in MajScale(x)
\end{align}を満たしているとする。
このとき
と
の間隔
を$$
deg(x,y):=\left| \left\{ z\in MajScale(x) \mid x\leqq z \leqq y \right\} \right|
$$と定める。
また、
であるとき
と
の間隔を
度と呼ぶ。
x&\leqq y\\
y&\in MajScale(x)
\end{align}を満たしているとする。
このとき
deg(x,y):=\left| \left\{ z\in MajScale(x) \mid x\leqq z \leqq y \right\} \right|
$$と定める。
また、
最後にコードの定義。
一般的な音楽理論ではコードの定義がいろいろありますが、今回はメジャースケールを基準に考える方法を採用しています。
コード
とし、
とする。
このとき、
に対して
を基準とする構造
のコード
を$$
Chord(x, Str) := \left\{ x + a(c') \mid (a, c) \in Str, c = deg(x,c') \right\}
$$と定める。
このとき、
Chord(x, Str) := \left\{ x + a(c') \mid (a, c) \in Str, c = deg(x,c') \right\}
$$と定める。
以下メモ書き
音名付け
を
を満たす集合、
を全単射な写像とする。
これらに対して、
の音名付け関数
を次のように定める:
を自然な射影とし、$$
Name = g \circ pr_{12}
$$
これらに対して、
Name = g \circ pr_{12}
$$
また、に対して
を単に
の音名と呼ぶ場合もある。
augの定理
とする。
このとき、
を基準とする構造
のコード
の各要素に対して音名付けを行うと、このコードは4種類しか存在しない。
つまり、$$
\left| \left\{ \left\{Name(a) \mid a\in Chord(x,aug) \right\} \mid x \in \mathbb{Z} \right\} \right| =4
$$が成り立つ。
このとき、
つまり、$$
\left| \left\{ \left\{Name(a) \mid a\in Chord(x,aug) \right\} \mid x \in \mathbb{Z} \right\} \right| =4
$$が成り立つ。
Chord(x, aug) = \left\{ x, x+4, x+8 \right\}
$$となる。ここで
Chord(x+4, aug) = \left\{ x+4, x+8, x+12 \right\}
$$となるが、音名付けは各要素を
つまり任意の
以上より、音名付けされた
まとめ
難しいお( ^ω^ )
ここから何か定理とか導出できたらたのしそう