【§4定義】大きさを測る

§4 Uniformity norms, and the generalized von Neumann theoremを読んでいきます。

前回突如現れたGowers一様性ノルムと、定理3.1の証明が行われています。

Gowers一様性ノルムは次のように再帰的に定義されています。

定義4.2 Gowers一様性ノルム
関数に対して、d-Gowers一様性ノルムを次のように定める\begin{align}
\|f\|_{U^0}&:=\int_{\mathbb{Z}_N}f &(d = 0)\\
\|f\|_{U^d}&:=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right)^{\frac{1}{2^d}} &(d\geqq 1)
\end{align}

ヤバそう

補題

ここで一つ補題を示しておきましょう。

補題4.1 Van der Corputの補題
任意の関数に対して、$$
\left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\right|^2 = \mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\overline{f}T^hf
$$が成り立つ。

証明は意外と簡単です。

\begin{align}
(\text{左辺})&=\left|\mathbb{E}_{x\in\mathbb{Z}_N}f(x)\right|^2\\
&=\overline{(\mathbb{E}_{x\in\mathbb{Z}_N}f(x))}(\mathbb{E}_{x\in\mathbb{Z}_N}f(x))\\
&=(\mathbb{E}_{x\in\mathbb{Z}_N}\overline{f}(x))(\mathbb{E}_{y\in\mathbb{Z}_N}f(y))\\
&=\mathbb{E}_{x,y\in\mathbb{Z}_N}\overline{f}(x)f(y)\\
&\\
(\text{右辺})&=\mathbb{E}_{h,x\in\mathbb{Z}_N}\overline{f}(x)f(x+h)
\end{align}
とおくことで成立。

いろんな性質

さて、Gowers一様性ノルムには性質がいくつかあります。

性質1 (ex4.3)$$
\|f\|_{U^1}=\left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\right|
$$

定義より、\begin{align}
\|f\|_{U^1}&=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^0}^{2^0}\right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\left( \mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N} \int_{\mathbb{Z}_N} \overline{f} T^h f \right)^{\frac{1}{2}}\\
&=\left( \left| \int_{\mathbb{Z}_N}f \right|^2 \right)^\frac{1}{2}\\
&=\left|\int_{\mathbb{Z}_N}f\right|
\end{align}

性質2 (Remark 4.4)
に対して、$$
\|f\|_{U^d} \leqq \|f\|_{U^{d+1}}
$$

に関する帰納法で示す。
(1) のとき
、より、$$
\|f\|_{U^0} \leqq \|f\|_{U^1}
$$よって成立。

(2) のとき成り立つと仮定すると、より$$
\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k-2}}^{2^{k-2}}\right)^{\frac{1}{2^{k-1}}} \leqq \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}}
$$が成立。
ここで、\begin{align}
\|f\|_{U^k} = \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \leqq \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \\
(\because\text{仮定より、}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k-1}} \leqq \|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}} )
\end{align}

つまり、示すべきことは$$
\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \leqq
\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}}^{2^{k }}\right)^{\frac{1}{2^{k+1}}} = \|f\|_{U^{k+1}}
$$であり、これの両辺を乗した$$
\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}}^{2^{k-1}}\right) ^2 \leqq
\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k}}^{2^{k }}
$$が示されればよい。

簡単のためとおくと、\begin{align}
(\text{左辺}) &= (\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N} A_h)^2\\
(\text{右辺}) &= \mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N} A_h^2
\end{align}
コーシー・シュワルツの不等式より、\begin{align}
\left( \sum_{h=1}^N A_h \right)^2 &\leqq N \cdot \sum_{h=1}^N A_h^2 \\
\left(\frac{1}{N} \sum_{h=1}^N A_h \right)^2 &\leqq \frac{1}{N} \cdot \sum_{h=1}^N A_h^2 \\
(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N} A_h)^2 &\leqq \mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N} A_h^2
\end{align}
よって示された。

非退化性も示しておきます。

非退化性
のとき$$
\|f\|_{U^d}=0 \iff f=0
$$

性質2より、で成り立つことを示せばよい。$$
\|f\|_{U^2}=0
$$のとき、定義より$$
\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f} T^h f\|_{U^1}^{2^1}=0
$$つまり任意のに対して$$
\| \overline{f} T^h f \|_{U^1}=0
$$これは$$
\left| \int_{\mathbb{Z}_N} \overline{f} T^h f \right| = 0
$$つまり任意のに対して$$
\overline{f}(x)f(x+h)=0
$$のときを考え、\begin{align}
\overline{f}f&=0\\
\left|f\right|^2 &= 0\\
f&=0
\end{align}
逆は明らか。

性質3 (ex4.5)
任意のに対して$$
\| f \|_{U^d} \leqq \| f \|_{L^\infty}
$$

に関する帰納法で示す
(i)のとき\begin{align}
\| f \|_{U^0} &= \int_{\mathbb{Z}_N}f\\
&\leqq \int_{\mathbb{Z}_N}|f| \\
&\leqq \sup_{x\in\mathbb{Z}_N} |f(x)| \\
&=\| f \|_{L^\infty}
\end{align}

(ii)で成り立つと仮定すると、$$
\|f\|_{U^{k-1}}\leqq \|f\|_{L^\infty}
$$のときを考える。$$
\|f\|_{U^k}=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \leqq \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{L^\infty}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}}
$$ここで$$
\|\overline{f}T^h f\|_{L^\infty}= \sup_{x\in\mathbb{Z}_N}|\overline{f}(x)(x+h)| \leqq \left( \sup_{x\in\mathbb{Z}_N} |f(x)| \right)^2 = \|f\|_{L^\infty}^2
$$より、$$
\|f\|_{U^k} \leqq \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{L^\infty}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \leqq
\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|f\|_{L^\infty}^{2^{k}}\right)^{\frac{1}{2^k}} = \|f\|_{L^\infty}
$$よって、のときも成立。

性質4(シフト不変、スケール不変性)
任意のに対して、$$
\|T^n f\|_{U^d} = \| f \|_{U^d}
$$
また、に対して$$
f_\lambda (x) := f\left(\frac{x}{\lambda}\right)
$$とするとき、$$
\| f_\lambda \|_{U^d} = \| f \|_{U^d}
$$

シフト不変性
に関する帰納法で示す。
(i)のとき\begin{align}
\|T^n f\|_{U^0} &= \int_{\mathbb{Z}_N} T^n f \\
&= \int_{\mathbb{Z}_N} f \\
&= \| f \|_{U^0}
\end{align}よって成立。

(ii)のとき成り立つと仮定すると、$$
\|T^n f\|_{U^{k-1}} = \| f \|_{U^k-1}
$$のときを考えると、$$
\| T^n f \|_{U^k} = \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{T^n f}T^h T^n f\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}}
$$ここで\begin{align}
\overline{T^n f}T^h T^n f &= \overline{f}(x+n)T^h f(x+n)\\
&= T^n(\overline{f}T^h f)
\end{align}なので、\begin{align}
\| T^n f \|_{U^k} &= \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|T^n(\overline{f}T^h f)\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \\
&= \left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^h f\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}}\\
&= \| f \|_{U^k}
\end{align}よって成立。

スケール不変性
に関する帰納法で示す。
(i)のとき、\begin{align}
\| f_\lambda \|_{U^0} &= \int_{\mathbb{Z}_N} f_\lambda\\
&= \int_{\mathbb{Z}_N}f\left(\frac{x}{\lambda}\right)
\end{align}は素数なため、においての演算は全単射であることから\begin{align}
\| f_\lambda \|_{U^0} &= \int_{\mathbb{Z}_N} f(x)\\
&= \| f \|_{U^0}
\end{align}よって成立。

(ii)のとき成り立つと仮定すると、$$
\| f_\lambda \|_{U^{k-1}}= \| f \|_{U^{k-1}}
$$のときを考えると、$$
\| f_\lambda \|_{U^k}=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f_\lambda}T^h f_\lambda \|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}}
$$ここで\begin{align}
\overline{f_\lambda}T^h f_\lambda &= \overline{f}\left( \frac{x}{\lambda} \right) f \left( \frac{x+h}{\lambda} \right) \\
&= \overline{f}\left( \frac{x}{\lambda} \right) f \left( \frac{x}{\lambda} + \lambda^{-1} h \right) \\
&= \left( \overline{f} T^{\lambda^{-1} h} f \right)_\lambda
\end{align}であるため\begin{align}
\| f_\lambda \|_{U^k}&=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\left\|\left( \overline{f} T^{\lambda^{-1} h} f \right)_\lambda\right\|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \\
&=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\| \overline{f} T^{\lambda^{-1} h} f \|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \\
&=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\| \overline{f} T^{h} f \|_{U^{k-1}}^{2^{k-1}}\right)^{\frac{1}{2^k}} \\
&= \| f \|_{U^k}
\end{align}よって成立。

まとめ

疲れました。

Gowers一様性ノルムの定義が終わったので、次の記事は定理3.1の証明に移りましょう。
がんばるぞい！

定理3.1(再掲) 一般化 von Neumannの定理
整数とし、をの相異なる元とする。
このとき、任意の有界関数に対して、$$
\left|\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda_j r}f_j\right)\right| \leqq \min_{0\leqq j\leqq k-1} \|f_j\|_{U^{k-1}}
$$が成り立つ。