【§3】定理三銃士を連れてきたよ

定理三銃士！？

§3 Overview of proofを読んでいきます。

前記事の仮定として用いられていた定理2.4を証明するために、また別の定理を３つ用意します。
canaan1008.hatenablog.com

それぞれの証明はまた今度やるとして、ここではその3つの定理から定理2.4が導出できることを確認します。

いろんなノルム

関数の大きさ(みたいな概念)を測るのに、ノルムというのがあります。
最初のほうの定義でも2種類のノルム(と)が出てきましたね。

まずここでは2種類のノルムを紹介しています。詳しい定義は後で、らしいです。

• Gowers一様性ノルム属

$$ \|f\|_{U^0} \leqq\|f\|_{U^1} \leqq \cdots \leqq \|f\|_{U^{k-1}} \leqq \cdots \leqq \|f\|_{L^\infty}$$

• 一様概周期性ノルム族

$$ \|f\|_{UAP^0} \geqq\|f\|_{UAP^1} \geqq \cdots \geqq \|f\|_{UAP^{k-2}} \geqq \cdots \geqq \|f\|_{L^\infty} $$

どうやらこの2種類のノルムを使うことで、関数のランダム性と構造が定まるらしいです。どういうこっちゃ！

定理三銃士

順番に見ていきます。

定理3.1 一般化 von Neumannの定理
整数とし、をの相異なる元とする。
このとき、任意の有界関数に対して、$$
\left|\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\lambda_j r}f_j\right)\right| \leqq \min_{0\leqq j\leqq k-1} \|f_j\|_{U^{k-1}}
$$が成り立つ。

ををﾌﾞﾜｰｯって動かしながら掛けて、出来上がったものをとをﾌﾞﾜﾜｰｯって動かしながら足してその平均をとります(？)。
定理2.4の左辺と似ているようで違う。
その絶対値がのGowersノルム(で計測)の最小値で押さえられますよ、ということを主張しています。(正直まだ全然イメージできていない。)

定理3.3 一様概周期関数の回帰性
整数、非負値有界関数が、あるに対して\begin{align}
&1.&\|f_{U^\perp}-f_{UAP}\|_{L^2} & \leqq \frac{\delta^2}{1024k}\\
&2.&\int_{\mathbb{Z}_N}f_{U^\perp} & \geqq \delta\\
&3.&\|f_{UAP}\|_{UAP^d} & \lt M
\end{align}を満たすと仮定する。
このとき、任意のに対して$$
\mathbb{E}_{0\leqq r \leqq N_1}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{\mu jr}f_{U^\perp}\right) \gg_{d,k,\delta, M} 1
$$が成り立つ。

仮定1ではの関係、仮定2では、仮定3ではの条件を述べているようです。
それに対して結論ではについてしか述べてません。
は何処へ。と思いましたが、十分大きいことを述べるための定数が(つまりのノルムを押さえている値)にも依存しているようです。

定理3.5 構造定理
をを満たす自然数、をあるに対してを満たす非負値有界関数とする。
また、を任意の関数とする。
このとき、ある正の数、有界関数、非負値有界関数が存在して、$$
f=f_U+f_{U^\perp}$$$$\text{定理3.3の３つの仮定が}d=k-2\text{で成立}$$$$\|f_U\|_{U^{k-1}}\leqq \frac{1}{F(M)}$$が成り立つ。

この定理の一番のキモはにありそうです。を2つの関数とに分解することができ、それぞれについての性質(定理3.3,3.5の結論)が成り立つ、ということを述べているように見えます。

証明

この3つの定理から、以前扱った定理2.4を導くことができます。

定理2.4(再掲) 定量的回帰定理
任意の整数、十分大きな素数、任意のに対し、
を満たす任意の非負値有界関数に対して、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。

がんばるぞい！

を定理2.4の仮定のものとする。
また、のとき、定理3.3の結論の左辺が正の定数で下から押さえられているものとする。()

として、任意のに対して$$
F(M)\gt\frac{2^k-1}{c(k,\delta, M)}
$$を満たすを１つ選び、この設定に対して定理3.5で存在するを取る。
このとき、\begin{align}
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) &= \mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}(f_U+f_{U^\perp})\right)\\
&=\sum_{(f_0,\dots,f_{k-1})\in\{f_{U},f_{U^\perp}\}^k}\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j\right)
\end{align}ここで、となる場合は。定理3.3のの場合に当たるので、下からで押さえられる。(☆)

また、残りの項はに少なくとも1つを含む。
よって、定理3.1と定理3.5よりどの項の絶対値もで上から押さえられる。$$
\left|\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j\right)\right|\leqq \|f_{U}\|_{U^{k-1}}\leqq\frac{1}{F(M)}\tag{★}
$$

☆★より、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \geqq c(k,\delta,M)-\frac{2^k-1}{F(M)}(\gt 0)
$$
より、右辺は全てに依存している定数であるため$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が導かれる。

参考：インテジャーズ「タオのセメレディ論文の§3を読む」

絡み合う定理

今回は3つの定理から一つの定理を証明するものだから大変です。
しかもいろんな文字がとにかく入り乱れるものだからさらに大変。
と、いうわけで地図を書いてみました。

見づらいとか言わない！
何が仮定でそこから何が導かれるのか、ということがわかれば大丈夫です。

おさらいします。
定理2.4の仮定から、定理3.1,3.3,3.5をうまいこと使って定理2.4の結論を導こう！というのが目的です。
気を抜くと案外これを見失います。

前準備

はこのマップ内ですべて同じものとして見ます。最初の仮定の3つをそのまま他の仮定としても使うよ〜〜ということです。
また、左下(定理3.3)のをと書き換えましょう。(の定義からこう書ける)

さらに前準備

定理3.5では任意の関数が扱えるので、任意のに関してを満たすようなを用意しましょう。(やは既に用意されているのでこう置ける)
そうすると定理3.5を成り立たせるが存在します。それらを他の定理にぶち込むために一旦キープします。

バラして組み立てる

さて、定理3.5よりが分解できることがわかったので、証明したい定理2.4結論の左辺にブチ込みましょう。

この式変形がちょっとややこしいですが…$$
\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}(f_{U}+f_{U^\perp})
$$というのはを外すと$$
(T^0f_U+T^0f_{U^\perp})(T^rf_U+T^rf_{U^\perp})\cdots(T^{(k-1)r}f_U+T^{(k-1)r}f_{U^\perp})
$$となります。

これを展開すると個の項が出てきますが、それぞれの項はすべて$$
(T^0f_0)(T^rf_1)\cdots (T^{(k-1)r}f_{k-1})=\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j
$$という形をしており、はかのどちらかです。
しかも、もれもかぶりもなく通り全てが出てきます。

よって、あとはその全パターンの和を取ってあげればいい！ということで$$
\sum_{(f_0,\dots,f_{k-1})\in\{f_{U},f_{U^\perp}\}^k}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j
$$こうなります。
あとは和の順序を入れ替えているだけです。

ラストスパート

定理2.4結論の左辺が個の項に分割できました。
このうち、全てがである項とそれ以外の項に分けて考えます。
すると…

全てがである項は定理3.3でと置いた場合になります。つまり、定数で下から押さえられるわけです。(☆)
を一つでも含む項は、まず定理3.1で(とおくことにより)$$
\left|\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j\right|\leqq\|f_U\|_{U^{k-1}}
$$であることがわかり*1、さらに定理3.5の結論より$$
\|f_U\|_{U^{k-1}}\leqq \frac{1}{F(M)}
$$であることがわかるので結局$$
\left|\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j\right| \leqq \frac{1}{F(M)}
$$です。絶対値を取ってマイナスの方を見ると$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j \geqq -\frac{1}{F(M)}
$$ですね。(★)

☆の場合(通り)と、★の場合(全部で通り)を合わせて全パターンを網羅できるので、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j \geqq c(k,\delta,M) - \frac{2^k-1}{F(M)}
$$です。ちなみにこれはと最初に取ったことより、であることがわかります。

はに依存した定数であるので、右辺で押さえている定数は結局のみに依存しています。
よって、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f_j \gg_{k,\delta} 1
$$であることがわかりました。めでたしめでたし。

今後

いきなりノルムとか出てきてわけわかんねえぜ！ってことで§4ではGowers一様性ノルムの定義を行います。
そのあと定理3.1の証明が行われます。
ホントに後に示す定理を先に持ってきて使っちゃいますねこの論文。

*1:右辺はなのでそのまま使うと微妙に違ったものになりますが、が成り立ちます。よくよく考えると当たり前で、クラスの中で一番背が低い人はクラスのどの人よりも背が低い、と言っているようなものです(その中の一人として君を選んだだけの式)。