ウォ！リスの公式 ё(・ω・=)＠ - カナンの数学ノート

１から順に自然数を２つずつ用意して並べます(最初は１つだけ)$$
1\ 2\ 2\ 3\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ \cdots
$$ジグザグに並べます\begin{align}
1\ 3\ 3\ 5\ 5\ 7\ 7\ \cdots \\
2\ 2\ 4\ 4\ 6\ 6\ 8\ \cdots
\end{align}それぞれの数字の積と見て、間に線を引いて分数と見ます。$$
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$この値はなーんだ？

突然の $\sin x$ さん

以前のバーゼル問題の記事で、 $\sin x$ に関する次のような式を出しました。$$
\frac{\sin x}{x}=\left(1^2-\frac{x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots
$$ここに $x=\frac{\pi}{2}$ を代入してみましょう。すると…\begin{align}
\frac{2}{\pi}\cdot\sin \frac{\pi}{2}&=\left(1^2-\frac{\pi^2}{2^21^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{\pi^2}{2^22^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{\pi^2}{2^23^2\pi^2}\right)\cdots\\
\frac{2}{\pi}&=\left(1^2-\frac{1}{2^21^2}\right)\left(1^2-\frac{1}{2^22^2}\right)\left(1^2-\frac{1}{2^23^2}\right)\cdots
\end{align}右辺がごちゃごちゃしているので無限積で表しましょう。\begin{align}
\frac{2}{\pi}&=\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2^2k^2}\right)\\
&=\prod_{k=1}^\infty \frac{2^2k^2-1}{2^2k^2}\\
&=\prod_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2}
\end{align}

ウォ！

右辺に出てきた無限積を改めて書いてみると…\begin{align}
&k=1: & \frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\\
&k=2: & \frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\\
&k=3: & \frac{5\cdot 7}{6\cdot 6}\\
&\vdots & \vdots
\end{align}ォ？$$
\frac{2}{\pi} = \frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$ウォ！