連分数メーカー

今日は連分数を作りましょう

連分数の作り方はいろいろありますが、本日の主役はこちらの無限和さんです$$
K=a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4+\cdots
$$
こんにちは

また、この方法を使ってライプニッツ級数(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\cdots = \frac{\pi}{4})の別の姿を見てみましょう。

このKって役にたつの

$$
K=a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4+\cdots
$$突然こんな式が出てきましたが、こんな無限和どこで使うんだよ!と思うでしょう。
僕もそう思います。

しかし、例えば$$
b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots
$$という無限和を考えたいときは\begin{align}
a_1&=b_1\\
a_2&=\frac{b_2}{b_1}\\
a_3&=\frac{b_3}{b_2}\\
&\vdots
\end{align}
とおいてKに代入すると、分母分子がぷよぷよのように連鎖してb_nの無限和を作ることができます。

準備

わかりやすくするため、次のようなK_nを考えましょう。$$
K_n = a_n+a_{n}a_{n+1}+a_{n}a_{n+1}a_{n+2}+\cdots
$$すると次のようなことがわかりますね。\begin{align}
K_n &= a_n(1+a_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}+\cdots)\\
K_n &= a_n(1+K_{n+1})
\end{align}

ここで改めて考えたいこととわかったことを整理してみます。

  • a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4+\cdotsを連分数で表したい
  • K_n = a_n+a_{n}a_{n+1}+a_{n}a_{n+1}a_{n+2}+\cdotsとおくと、K_n = a_n(1+K_{n+1})が成り立つ
  • 求めたいのはK_1を連分数に変形したもの

モリモリ変形しよう

一気にいきますよ〜〜〜
\begin{align}
K_1&=a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4+\cdots\\
&=a_1(1+K_2)\\
&=\cfrac{a_1}{\cfrac{1}{1+K_2}}\\
&=\cfrac{a_1}{1-\cfrac{K_2}{1+K_2}}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{K_2}{1+K_2}\\
\end{align}ここで一旦止めましょう。

連分数の書き方

連分数は分数の中に分数を含むため、変形を繰り返すとものすごい勢いでノートを食います。
よって、次のような記法が使われることが多いです。$$
\cfrac{1}{2+\cfrac{3}{4+\cfrac{5}{6}}}=\cfrac{1}{2+}\ \cfrac{3}{4+}\ \cfrac{5}{6}
$$
分数の右下が符号で終わっていたら、連分数だな!という判断で大丈夫です。

つづき

再開します。
\begin{align}
K_1&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{K_2}{1+K_2}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2(1+K_3)}{1+a_2(1+K_3)}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2}{\cfrac{1}{1+K_3}+a_2}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2}{\cfrac{1+K_3-K_3}{1+K_3}+a_2}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2}{1+a_2-\cfrac{K_3}{1+K_3}}\\
&=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2}{1+a_2-}\ \cfrac{K_3}{1+K_3}\\
\end{align}
\cfrac{K_2}{1+K_2}\cfrac{a_2}{1+a_2-}\ \cfrac{K_3}{1+K_3}に変形できたのが確認できます。

これは以降同じように変形できて、$$
K_1=\cfrac{a_1}{1-}\ \cfrac{a_2}{1+a_2-}\ \cfrac{a_3}{1+a_3-}\ \cfrac{a_4}{1+a_4-}\ \cfrac{a_5}{1+a_5-}\cdots
$$
となります。あら美しい。

ライプニッツ級数の別の姿

$$
\frac{\pi}{4}= \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\cdots
$$
ライプニッツ級数とはこんな交代級数です。

この級数のところを頑張ってKに代入できるようにするには…\begin{align}
a_1&=\frac{1}{1}\\
a_2&=-\frac{1}{3}\\
a_3&=-\frac{5}{3}\\
a_4&=-\frac{7}{5}\\
&\vdots
\end{align}とおけば良さそうですね。

さあ実際に代入だ!\begin{align}
K_1&=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\cdots \\
&=(\text{$a_n$を代入してゴリゴリ計算中})\\
&=\cfrac{1}{1+}\ \cfrac{1^2}{2+}\ \cfrac{3^2}{2+}\ \cfrac{5^2}{2+}\ \cfrac{7^2}{2+} \cdots\\
&=\cfrac{1}{1+ \cfrac{1^2}{2+ \cfrac{3^2}{2+ \cfrac{5^2}{2+ \cfrac{7^2}{2+\cdots} } } } }
\end{align}
ッハァ〜〜美しい!

おまけ

連分数を考える中でやっぱり\frac{1}{2+}\ \frac{3}{4+}って書き方は見づらいよな〜〜って思いながら勉強を進めていたんですが、ヤバい記法を編み出してしまいました
f:id:canaan1008:20180331163541j:plain
f:id:canaan1008:20180331163547j:plain
f:id:canaan1008:20180331163550j:plain
分数の棒やプラスやマイナスがぐんにゃりと曲がっています。たのしい