ランベルトの連分数を頑張って導出してみた

本記事は数学〈超絶〉難問のQ73について書きます。

数学〈超絶〉難問

Q.73 『ランベルトの連分数』
$$
\tan x = \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\frac{x^2}{9-\cdots}}}}}
$$
これは1766年に J. H. Lambert(1728年〜1777年)が発見した，有名な連分数です。
あなたはこれを導けますか？

母関数とバーゼル問題

以前このような式を紹介しました。$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$この右辺は、こんな風に考えることもできそうです。

$$
f(x)=\frac{1}{1^2}x^1+\frac{1}{2^2}x^2+\frac{1}{3^2}x^3+\frac{1}{4^2}x^4+\cdots
$$と置くときの、$$
f(1)
$$の値

つまりこのを閉じた式で表すことができれば、を代入しての値を求めることができそうです。たぶん。

冪級数に憧れて

本日の主役はさんです。こんにちは。

を書くとこんなグラフになります。

彼には冪級数(べき級数)への憧れがありました。

冪級数とは、やのように、の冪乗の和(正確には無限和)で表されるものです。

前回の母関数も冪級数です。
canaan1008.hatenablog.com

果たしてさんを冪級数で表すとどのようになるのでしょうか？
実際にやってみましょう。

母関数は数列のギフトラッピング

[tex:]

先日はバレンタインデーでした。みなさんはチョコを貰いましたか？

貰った人も貰ってない人も、渡した人も渡してない人も、この時期はいろんなプレゼントが贈られる時期でしょう。

しかしどんなプレゼントを用意したらいいかわからない…というそこのあなた！

母関数をプレゼントしてみてはいかがでしょう？

今回は特別にその作り方を公開します。

みなさんも是非作ってみましょう。

IQ120関数でも作って遊ぶか

[tex:]

あ〜〜〜ヒマだな。関数でも作って遊ぶか。

www.ajimatics.com

きっかけ

以前Twitterでこんなツイートを見かけました。

これが解けたらIQ120！？

5 + 3 = 28
9 + 1 = 810
8 + 6 = 214
5 + 4 = 19
7 + 3 = ??

#解けたらRT

僕「………」

僕「こういうことかな？」

これが解けたらIQ120！？

5 + 3 = 28 8
9 + 1 = 810 10
8 + 6 = 214 14
5 + 4 = 19 9
7 + 3 = ?? 10

#解けたらRT

僕「もしかしてIQ120！？というのはIQがということか！？調べたら200桁くらいあったぞ。相当なIQなんだな」

ゼータ関数を勝手に拡張してみる

今回の主役は、ゼータ関数さんです。早速登場していただきましょう。$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}
$$前回の記事(下記リンク)では自然数の平方逆数和、つまりを求めたわけですね。
canaan1008.hatenablog.com

前回扱ったように、ゼータ関数に出てくる項のうち、奇数番目、偶数番目の項だけを足すことを表す記号とかあったほうが面白そうじゃない？って思いました。
というわけで勝手に作りました*1。

*1:まあ普通に先行研究としてありそうなんですが、自分でいろいろ見つけてみたいため敢えて調べてないです。

自然数の平方の逆数和で遊んでみた

突然ですが、$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$です。
数学好きの方の多くがこの数式を眺めているだけで多幸感を感じる傾向があります。