自然数の平方の逆数和で遊んでみた

突然ですが、$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$です。
数学好きの方の多くがこの数式を眺めているだけで多幸感を感じる傾向があります。

何はともあれ導出だ

この、「自然数の平方(２乗)の逆数和」を求める問題はバーゼル問題と呼ばれているそうです。
簡単な導出は↓こんな感じ↓になります。(符号や指数を冗長に書いています。*1 )

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は次のようにマクローリン展開できる*2。$$
\sin x = +\frac{1}{1!}x^1-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-+\cdots
$$ここでとし、両辺で割って$$
\frac{\sin x}{x} = +\frac{1}{1!}x^0-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-+\cdots \tag{1}
$$を得る。

また、は(ただしは整数)でとなるため、$$
\sin x=x\left(1-\frac{x}{1\pi}\right)\left(1+\frac{x}{1\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots
$$と因数分解のようなことができる。
ここでもとして両辺で割って、さらに右辺のそれぞれの積は和と差の積の形になっているため、$$
\frac{\sin x}{x}=\left(1^2-\frac{x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots \tag{2}
$$を得る。

とより、$$+\frac{1}{1!}x^0-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-+\cdots = \left(1^2-\frac{x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots
$$これはについての恒等式なので、の係数を比較して、$$-\frac{1}{3!}=-\left(\frac{1}{1^2\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\cdots\right)
$$両辺にをかけて、$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$を得る。

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を因数分解しちゃうアイデアがすごいですね。
オイラーが考えた解法らしいですが、個人的にはテトラちゃんのイメージが強烈にあります*3。

さてここではのマクローリン展開を使って平方数の逆数和が出てきたわけですが、ふとこんなことを思い立ちました。
「のマクローリン展開でやったらどうなるの？」

から攻めてみる

実際にやってみましょう。

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は次のようにマクローリン展開できる。$$
\cos x = +\frac{1}{0!}x^0-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-+\cdots \tag{3}
$$

また、は(ただしは整数)でとなるため、$$
\cos x=\left(1-\frac{x}{\frac{1}{2}\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{1}{2}\pi}\right)\left(1-\frac{x}{\frac{3}{2}\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\frac{3}{2}\pi}\right)\cdots
$$と因数分解のようなことができる。整理して、$$
\cos x=\left(1-\frac{2x}{1\pi}\right)\left(1+\frac{2x}{1\pi}\right)\left(1-\frac{2x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{2x}{3\pi}\right)\cdots
$$右辺のそれぞれの積は和と差の積の形になっているため、$$
\cos x=\left(1^2-\frac{2^2x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{2^2x^2}{3^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{2^2x^2}{5^2\pi^2}\right)\cdots \tag{4}
$$を得る。

とより、$$+\frac{1}{0!}x^0-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-+\cdots = \left(1^2-\frac{2^2x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1^2-\frac{2^2x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots
$$これはについての恒等式なので、の係数を比較して、$$-\frac{1}{2!}=-\left(\frac{2^2}{1^2\pi^2}+\frac{2^2}{3^2\pi^2}+\frac{2^2}{5^2\pi^2}+\frac{2^2}{7^2\pi^2}\cdots\right)
$$両辺にをかけて、$$
\frac{\pi^2}{8}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots
$$を得る。

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奇数の平方の逆数和はだった！！！！！！！
興味本位でを弄っていたらこんなことがわかってしまってびっくりです。

ところで、バーゼル問題と新しく見つけた奇数の平方逆数和を並べるとこんな感じになります。\begin{alignat*}{3}
\frac{\pi^2}{6}&=\frac{1}{1^2}&+\frac{1}{2^2}&+\frac{1}{3^2}+&\frac{1}{4^2}&+\frac{1}{5^2}+\cdots \\
\frac{\pi^2}{8}&=\frac{1}{1^2}&&+\frac{1}{3^2}&&+\frac{1}{5^2}+\cdots
\end{alignat*}両辺引いてみましょう。すると奇数の項だけがバシバシと消えて…$$
\frac{\pi^2}{24}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots
$$
偶数の平方の逆数和はだった！！！！！！！すごい！！！

から自然数の平方逆数和が求まったのに対し、から攻めたら奇数のみ、偶数のみの平方逆数和が求まってしまいました。
感動です。

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補足

$$
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}
$$の両辺にをかけて、\begin{alignat}{5}
\frac{\pi^2}{6\cdot 2^2}&=\frac{1}{1^2\cdot 2^2}&&+\frac{1}{2^2\cdot 2^2}&&+\frac{1}{3^2\cdot 2^2}&&+\frac{1}{4^2\cdot 2^2}&&+\cdots\\
\frac{\pi^2}{24}&=\frac{1}{2^2}&&+\frac{1}{4^2}&&+\frac{1}{6^2}&&+\frac{1}{8^2}&&+\cdots
\end{alignat}偶数の平方逆数和があっさり出てきちゃいました。
「よく考えたらそりゃそうだよなあ」とちょっと拍子抜け。
ここから奇数の平方逆数和を求めることもできますね。

*1:個人的な意見ですが、マクローリン展開は多少冗長になろうとも全ての項が似た形になるように記述するほうが構造がよく見えてわかりやすく、面白いと感じています。

*2:というのは「今後もとが交互に出てきますよ」という意味です。と書かれる場合もあります。

*3:数学ガール１巻を読みましょう。読みましょう。