必ず見つかる等差数列

T.Tao, A quantitiative ergodic theory proof of Szemerédi's theoremを読んでいきます。
ただでさえややこしい内容である上に全部英語なので、自分の中での理解を確かめるために学んだことをブログにまとめられたらな〜〜〜と思っております。

本記事はそのイントロダクションということで、↓の２つの定理を紹介します。

定理1.1: Van der Waerdenの定理
任意の自然数 $k,m\geqq 1$ に対して、ある自然数 $N=N_{vdW}(k,m) \geqq 1$ が存在して、任意の色づけ ${\mathbf c}:\{1,\dots , N\} \to \{1, \dots , m\}$ に対して同色で塗られた長さ $k$ の等差数列が存在する。

定理1.2: Szemerédiの定理
任意の自然数 $k\geqq 1$ と実数 $0 \lt \delta \leqq 1$ に対して、ある自然数 $N_{SZ}(k,\delta) \geqq 1$ が存在して、すべての $N\geqq N_{SZ}(k,\delta)$ に対して $A \subset \{1, \dots , N\}$ かつ $\frac{|A|}{N}\geqq \delta$ を満たす $A$ には長さ $k$ の等差数列が存在する。

すごそう(小並感)

2018-03-31

連分数メーカー

連分数数列無限級数

今日は連分数を作りましょう

連分数の作り方はいろいろありますが、本日の主役はこちらの無限和さんです$$
K=a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4+\cdots
$$
こんにちは

また、この方法を使ってライプニッツ級数( $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-+\cdots = \frac{\pi}{4}$ )の別の姿を見てみましょう。

2018-03-31

ウォ！リスの公式 ё(・ω・=)＠

無限積

１から順に自然数を２つずつ用意して並べます(最初は１つだけ)$$
1\ 2\ 2\ 3\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ \cdots
$$ジグザグに並べます\begin{align}
1\ 3\ 3\ 5\ 5\ 7\ 7\ \cdots \\
2\ 2\ 4\ 4\ 6\ 6\ 8\ \cdots
\end{align}それぞれの数字の積と見て、間に線を引いて分数と見ます。$$
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$この値はなーんだ？

2018-03-30

ランベルトの連分数を頑張って導出してみた

連分数数列マクローリン展開テイラー展開

本記事は数学〈超絶〉難問のQ73について書きます。

数学〈超絶〉難問

作者: 小野田博一
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発売日: 2014/05/22
メディア: 単行本
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Q.73 『ランベルトの連分数』
$$
\tan x = \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\frac{x^2}{9-\cdots}}}}}
$$
これは1766年に J. H. Lambert(1728年〜1777年)が発見した，有名な連分数です。
あなたはこれを導けますか？