定義4.2 Gowers一様性ノルム
関数 $f:\mathbb{Z}_N\to\mathbb{C}$ に対して、d-Gowers一様性ノルム $\|f\|_{U^d}$ を次のように定める\begin{align}
\|f\|_{U^0}&:=\int_{\mathbb{Z}_N}f &(d = 0)\\
\|f\|_{U^d}&:=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right)^{\frac{1}{2^d}} &(d\geqq 1)
\end{align}

ヤバそう

2018-04-27

【§3】定理三銃士を連れてきたよ

Green-Taoに向けて

定理三銃士！？

§3 Overview of proofを読んでいきます。

前記事の仮定として用いられていた定理2.4を証明するために、また別の定理を３つ用意します。
canaan1008.hatenablog.com

それぞれの証明はまた今度やるとして、ここではその3つの定理から定理2.4が導出できることを確認します。

2018-04-24

【§2】ひとまずSzemerédiの定理へ

Green-Taoに向けて Szemerédiの定理等差数列

*4/25追記：一部の議論を追加、修正しました。
§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。

前回は定義をたくさんして議論の準備ができました。
canaan1008.hatenablog.com

そして、今回のテーマとなる定理はこちら！ﾊﾞﾊﾞﾝ

定理2.4 定量的回帰定理
任意の整数 $k\geqq 1$ 、十分大きな素数 $N\geqq 1$ 、任意の $0 \lt\delta\leqq 1$ に対し、
$\int_{\mathbb{Z}_N}f\geqq\delta$ を満たす任意の非負値有界関数 $f:\mathbb{Z}_N\to\mathbb{R}^+$ に対して、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。

この定理自体の証明は後回しにしますが、この定理が成り立つとするとそこからSzemerédiの定理を導くことができます。

というかこの論文、「Aが成り立つとするとBが成り立つよ！Aの証明はあとでやるから」ってスタンスで進んでいくようです。

2018-04-24

【§2準備】定義の盛り合わせ

Green-Taoに向けて

※4/25追記：シフト作用素の定義を変更しました。

これから§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。

さてこれからSzemerédiの定理の証明に向けていろいろ頑張るわけですが、その前にいろんな下準備が必要になります。

定義だけでもかなりたくさんあるので、それだけで一つの記事が必要になりそうです。

がんばるぞい！