【§4定義】大きさを測る
§4 Uniformity norms, and the generalized von Neumann theoremを読んでいきます。
前回突如現れたGowers一様性ノルムと、定理3.1の証明が行われています。
Gowers一様性ノルムは次のように再帰的に定義されています。
定義4.2 Gowers一様性ノルム
関数
に対して、d-Gowers一様性ノルム
を次のように定める\begin{align}
\|f\|_{U^0}&:=\int_{\mathbb{Z}_N}f &(d = 0)\\
\|f\|_{U^d}&:=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right)^{\frac{1}{2^d}} &(d\geqq 1)
\end{align}
ヤバそう
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関数
\|f\|_{U^0}&:=\int_{\mathbb{Z}_N}f &(d = 0)\\
\|f\|_{U^d}&:=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right)^{\frac{1}{2^d}} &(d\geqq 1)
\end{align}
【§3】定理三銃士を連れてきたよ
定理三銃士！？
§3 Overview of proofを読んでいきます。
前記事の仮定として用いられていた定理2.4を証明するために、また別の定理を３つ用意します。
canaan1008.hatenablog.com
それぞれの証明はまた今度やるとして、ここではその3つの定理から定理2.4が導出できることを確認します。
続きを読む【§2】ひとまずSzemerédiの定理へ
*4/25追記：一部の議論を追加、修正しました。
§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
前回は定義をたくさんして議論の準備ができました。
canaan1008.hatenablog.com
そして、今回のテーマとなる定理はこちら！ﾊﾞﾊﾞﾝ
定理2.4 定量的回帰定理
任意の整数
、十分大きな素数
、任意の
に対し、
を満たす任意の非負値有界関数
に対して、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。
この定理自体の証明は後回しにしますが、この定理が成り立つとするとそこからSzemerédiの定理を導くことができます。任意の整数
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。
というかこの論文、「Aが成り立つとするとBが成り立つよ！Aの証明はあとでやるから」ってスタンスで進んでいくようです。
続きを読む【§2準備】定義の盛り合わせ
※4/25追記：シフト作用素の定義を変更しました。
これから§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
さてこれからSzemerédiの定理の証明に向けていろいろ頑張るわけですが、その前にいろんな下準備が必要になります。
定義だけでもかなりたくさんあるので、それだけで一つの記事が必要になりそうです。
がんばるぞい！
続きを読む必ず見つかる等差数列
T.Tao, A quantitiative ergodic theory proof of Szemerédi's theoremを読んでいきます。
ただでさえややこしい内容である上に全部英語なので、自分の中での理解を確かめるために学んだことをブログにまとめられたらな〜〜〜と思っております。
本記事はそのイントロダクションということで、↓の２つの定理を紹介します。
定理1.1: Van der Waerdenの定理
任意の自然数
に対して、ある自然数
が存在して、任意の色づけ
に対して同色で塗られた長さ
の等差数列が存在する。
任意の自然数
定理1.2: Szemerédiの定理
任意の自然数と実数
に対して、ある自然数
が存在して、すべての
に対して
かつ
を満たす
には長さの等差数列が存在する。
任意の自然数
すごそう(小並感)
続きを読むウォ！リスの公式 ё(・ω・=)＠
１から順に自然数を２つずつ用意して並べます(最初は１つだけ)$$
1\ 2\ 2\ 3\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ \cdots
$$ジグザグに並べます\begin{align}
1\ 3\ 3\ 5\ 5\ 7\ 7\ \cdots \\
2\ 2\ 4\ 4\ 6\ 6\ 8\ \cdots
\end{align}それぞれの数字の積と見て、間に線を引いて分数と見ます。$$
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$この値はなーんだ？
