公理的音楽論みたいなのを考えたい

音楽理論を数学的に定めたいというお話です。
自分用メモなので眺める程度に。

Q. 公理的"音楽理論"じゃダメなの？
A. 公理的集合論とかあるからネーミングはそれに倣ってみただけ

定義定義アンド定義

$$
\mathbb{Z}_{12}:=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}
$$と定め、その要素を$$
\mathbb{Z}_{12}=\left\{[0],[1],\dots, [11]\right\}
$$とする。

いわゆる鍵盤の12音にあたる要素です。
一方で整数 $\mathbb{Z}$ を高さを考慮した全ての鍵盤とみなします。

次はスケールの定義です。

スケール
$Str \subset \left\{ 0,1,\dots, 11 \right\}$ とし、 $0 \in Str$ とする。
このとき、 $x\in\mathbb{Z}$ に対して $x$ を基準とする構造 $Str$ のスケール $Scale(x, Str)$ を$$
Scale(x, Str) := \left\{ x + s + 12n \mid s \in Str, n\in\mathbb{Z} \right\}
$$と定める。
また、 $Str=\left\{0,2,4,5,7,9,11\right\}$ のときのスケールを特にメジャースケールと呼び、 $x\in\mathbb{Z}$ を基準とするメジャースケールを $MajScale(x)$ と書く。$$
MajScale(x) := Scale(x, \left\{0,2,4,5,7,9,11\right\})
$$

臨時記号の定義です。
これはまあそうだよねっていう感じのアレ

臨時記号
関数 $\natural, \flat, \sharp : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ を\begin{align}
\natural(x) &= x\\
\sharp(x) &= x+1\\
\flat(x) &= x-1
\end{align}と定める。
また、これらの関数の集合を$$
Acc := \left\{ \natural, \flat, \sharp \right\}
$$と定める。

度数の定義。
音楽理論ではメジャースケールから定義されているためそれに倣っています。

度数
$x,y\in\mathbb{Z}$ が\begin{align}
x&\leqq y\\
y&\in MajScale(x)
\end{align}を満たしているとする。
このとき $x$ と $y$ の間隔 $deg(x,y)$ を$$
deg(x,y):=\left| \left\{ z\in MajScale(x) \mid x\leqq z \leqq y \right\} \right|
$$と定める。
また、 $k=deg(x,y)$ であるとき $x$ と $y$ の間隔を $k$ 度と呼ぶ。

最後にコードの定義。
一般的な音楽理論ではコードの定義がいろいろありますが、今回はメジャースケールを基準に考える方法を採用しています。

コード
$Str \subset Acc \times \mathbb{Z}^{+}$ とし、 $(\natural, 1) \in Str$ とする。
このとき、 $x\in\mathbb{Z}$ に対して $x$ を基準とする構造 $Str$ のコード $Chord(x, Str)$ を$$
Chord(x, Str) := \left\{ x + a(c') \mid (a, c) \in Str, c = deg(x,c') \right\}
$$と定める。

以下メモ書き

音名付け
$N$ を $\left| N \right| = 12$ を満たす集合、 $g:\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\to N$ を全単射な写像とする。
これらに対して、 $\mathbb{Z}$ の音名付け関数 $Name:\mathbb{Z}\to N$ を次のように定める：
$pr_{12}:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ を自然な射影とし、$$
Name = g \circ pr_{12}
$$

また、 $x\in\mathbb{Z}$ に対して $Name(x)$ を単に $x$ の音名と呼ぶ場合もある。

augの定理
$aug := \{ (\natural, 1), (\natural, 3), (\sharp, 5) \}$ とする。
このとき、 $x$ を基準とする構造 $aug$ のコード $Chord(x, aug)$ の各要素に対して音名付けを行うと、このコードは4種類しか存在しない。
つまり、$$
\left| \left\{ \left\{Name(a) \mid a\in Chord(x,aug) \right\} \mid x \in \mathbb{Z} \right\} \right| =4
$$が成り立つ。

$x\in\mathbb{Z}$ に対して、$$
Chord(x, aug) = \left\{ x, x+4, x+8 \right\}
$$となる。ここで $x\mapsto x+4$ とすると$$
Chord(x+4, aug) = \left\{ x+4, x+8, x+12 \right\}
$$となるが、音名付けは各要素を $12$ で割ったあまりで分類されるため $Chord(x, aug)$ と $Chord(x+4, aug)$ の音名集合(各要素を音名に変換した集合)は等しい。
つまり任意の $x$ に対する $Chord(x, aug)$ の音名集合は、 $x=0,1,2,3$ に対する $Chord(x,aug)$ の音名集合のいずれかに一致する。また、これら４つの集合は相異なる。
以上より、音名付けされた $aug$ コードは4種類しか存在しないことが示される。

まとめ

難しいお（＾ω＾）

ここから何か定理とか導出できたらたのしそう