冪級数に憧れて - カナンの数学ノート

本日の主役は $\ \log{(1+x)}\$ さんです。こんにちは。

$y=\log{(1+x)}\$ を書くとこんなグラフになります。
f:id:canaan1008:20180228163008p:plain

彼には冪級数(べき級数)への憧れがありました。

冪級数とは、 $x^2+3x+2\$ や $\ x^{50}-21x^{20}+x+1\$ のように、 $x$ の冪乗の和(正確には無限和)で表されるものです。

前回の母関数も冪級数です。
canaan1008.hatenablog.com

果たして $\ \log{(1+x)}\$ さんを冪級数で表すとどのようになるのでしょうか？
実際にやってみましょう。

とりあえず置いてみる

冪級数で表されるとして、とりあえず次のように置いてみましょう。$$
\log{(1+x)} = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\cdots
$$
$x^n$ の係数が $a_n$ ということです。

すると、考えるべきことは次のような問になります。

問： $\log{(1+x)}\$ が$$
\log{(1+x)} = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\cdots
$$と表されるとき、 $a_n$ の値は何になるか？

簡単なところから

$a_0$ の値はすぐにわかりそうです。
$x=0\$ を代入してみます。$$
\log{(1+0)} = a_0
$$となるので、$$
a_0=0
$$です。

次の係数は？

$$
\log{(1+x)} = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\cdots
$$の両辺を $x$ で微分してみます。$$
\frac{1}{1+x} = 0+1\cdot a_1x^0+2\cdot a_2x^1+3\cdot a_3x^2+\cdots
$$これまで定数項だった $a_0$ が消えて、代わりに $a_1$ が定数項として現れました。可愛いですね(?)。

この状態で再び $\ x=0\$ を代入してみましょう。$$
\frac{1}{1+0}= 1\cdot a_1
$$となるので、$$
a_1=1
$$です。

で、 $a_n$ は？

$\log(1+x)\$ に限らず、 $f(x)$ が冪級数で次のように表されているとしましょう。$$
f(x) = a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+\cdots
$$そして、この両辺を $n$ 回微分します。

すると、両辺辺はそれぞれこんな感じになります。(計算の詳細は省略します)$$
f^{(n)}(x)=n!a_n+(\text{$x$の式})
$$この右辺に注目！！！！！

$a_0x^0+a_1x^1+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}\$ ( $n-1$ 次まで)は $n$ 回微分すると消える( $0$ になる)
$a_nx^n$ の項は $n$ 回微分すると $n!a_n$ (定数)になる
$a_{n+1}x^{n+1}+a_{n+2}x^{n+2} +\cdots\$ ( $n+1$ 次以降)は $n$ 回微分しても $x$ が残る

ここで $\ x=0\$ を代入しちゃいます。すると…\begin{align}
f^{(n)}(x)&=n!a_n+(\text{$x$の式})\\
f^{(n)}(0)&=n!a_n\\
a_n&=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}
\end{align}

$f(x)$ の $n$ 回微分とそのときの $\ x=0\$ の値がわかれば、そこから $a_n$ の値が求めることができるようです。
めでたしめでたし。

憧れの冪級数

$\log(1+x)$ の $n$ 回微分は、$$\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!}{(1+x)^n}$$になります。
これより、 $n>0$ に対して $a_n$ は\begin{align}
a_n&=\frac{(-1)^{n+1}\cdot (n-1)!}{(1+0)^n\cdot n!}\\
&=\frac{(-1)^{n+1}}{n}
\end{align}であることがわかりました。