ロマンティック数学ナイトに登壇してきました
ずっと登壇したかったロマンティック数学ナイトに登壇してきました。やったね!
romanticmathnight.org
発表に用いたスライドです。
内容は前回の記事とほぼ同じですが、音楽理論がそもそもなぜ難しく感じるのかということを話したりしてます。
以下、ひとり振り返りタイム
続きを読む【§4定義】大きさを測る
§4 Uniformity norms, and the generalized von Neumann theoremを読んでいきます。
前回突如現れたGowers一様性ノルムと、定理3.1の証明が行われています。
Gowers一様性ノルムは次のように再帰的に定義されています。
関数に対して、d-Gowers一様性ノルムを次のように定める\begin{align}
\|f\|_{U^0}&:=\int_{\mathbb{Z}_N}f &(d = 0)\\
\|f\|_{U^d}&:=\left(\mathbb{E}_{h\in\mathbb{Z}_N}\|\overline{f}T^hf\|_{U^{d-1}}^{2^{d-1}}\right)^{\frac{1}{2^d}} &(d\geqq 1)
\end{align}
【§3】定理三銃士を連れてきたよ
定理三銃士!?
§3 Overview of proofを読んでいきます。
前記事の仮定として用いられていた定理2.4を証明するために、また別の定理を3つ用意します。
canaan1008.hatenablog.com
それぞれの証明はまた今度やるとして、ここではその3つの定理から定理2.4が導出できることを確認します。
続きを読む【§2】ひとまずSzemerédiの定理へ
*4/25追記:一部の議論を追加、修正しました。
§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
前回は定義をたくさんして議論の準備ができました。
canaan1008.hatenablog.com
そして、今回のテーマとなる定理はこちら!ババン
任意の整数、十分大きな素数、任意のに対し、
を満たす任意の非負値有界関数に対して、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。
というかこの論文、「Aが成り立つとするとBが成り立つよ!Aの証明はあとでやるから」ってスタンスで進んでいくようです。
続きを読む【§2準備】定義の盛り合わせ
※4/25追記:シフト作用素の定義を変更しました。
これから§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
さてこれからSzemerédiの定理の証明に向けていろいろ頑張るわけですが、その前にいろんな下準備が必要になります。
定義だけでもかなりたくさんあるので、それだけで一つの記事が必要になりそうです。
がんばるぞい!
続きを読む必ず見つかる等差数列
T.Tao, A quantitiative ergodic theory proof of Szemerédi's theoremを読んでいきます。
ただでさえややこしい内容である上に全部英語なので、自分の中での理解を確かめるために学んだことをブログにまとめられたらな〜〜〜と思っております。
本記事はそのイントロダクションということで、↓の2つの定理を紹介します。
任意の自然数に対して、ある自然数が存在して、任意の色づけに対して同色で塗られた長さの等差数列が存在する。
任意の自然数と実数に対して、ある自然数が存在して、すべてのに対してかつを満たすには長さの等差数列が存在する。
すごそう(小並感)
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