【§2】ひとまずSzemerédiの定理へ
*4/25追記:一部の議論を追加、修正しました。
§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
前回は定義をたくさんして議論の準備ができました。
canaan1008.hatenablog.com
そして、今回のテーマとなる定理はこちら!ババン
任意の整数、十分大きな素数、任意のに対し、
を満たす任意の非負値有界関数に対して、$$
\mathbb{E}_{r\in\mathbb{Z}_N}\left(\int_{\mathbb{Z}_N}\prod_{j=0}^{k-1}T^{jr}f\right) \gg_{k,\delta} 1
$$が成立する。
というかこの論文、「Aが成り立つとするとBが成り立つよ!Aの証明はあとでやるから」ってスタンスで進んでいくようです。
続きを読む【§2準備】定義の盛り合わせ
※4/25追記:シフト作用素の定義を変更しました。
これから§2 The finite cyclic group settingを読んでいきます。
さてこれからSzemerédiの定理の証明に向けていろいろ頑張るわけですが、その前にいろんな下準備が必要になります。
定義だけでもかなりたくさんあるので、それだけで一つの記事が必要になりそうです。
がんばるぞい!
続きを読む必ず見つかる等差数列
T.Tao, A quantitiative ergodic theory proof of Szemerédi's theoremを読んでいきます。
ただでさえややこしい内容である上に全部英語なので、自分の中での理解を確かめるために学んだことをブログにまとめられたらな〜〜〜と思っております。
本記事はそのイントロダクションということで、↓の2つの定理を紹介します。
任意の自然数に対して、ある自然数が存在して、任意の色づけに対して同色で塗られた長さの等差数列が存在する。
任意の自然数と実数に対して、ある自然数が存在して、すべてのに対してかつを満たすには長さの等差数列が存在する。
すごそう(小並感)
続きを読むウォ!リスの公式 ё(・ω・=)@
1から順に自然数を2つずつ用意して並べます(最初は1つだけ)$$
1\ 2\ 2\ 3\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ \cdots
$$ジグザグに並べます\begin{align}
1\ 3\ 3\ 5\ 5\ 7\ 7\ \cdots \\
2\ 2\ 4\ 4\ 6\ 6\ 8\ \cdots
\end{align}それぞれの数字の積と見て、間に線を引いて分数と見ます。$$
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$この値はなーんだ?
ランベルトの連分数を頑張って導出してみた
本記事は数学〈超絶〉難問のQ73について書きます。
- 作者: 小野田博一
- 出版社/メーカー: 日本実業出版社
- 発売日: 2014/05/22
- メディア: 単行本
- この商品を含むブログ (1件) を見る
続きを読むQ.73 『ランベルトの連分数』
$$
\tan x = \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\frac{x^2}{9-\cdots}}}}}
$$
これは1766年に J. H. Lambert(1728年〜1777年)が発見した,有名な連分数です。
あなたはこれを導けますか?
母関数とバーゼル問題
以前このような式を紹介しました。$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$この右辺は、こんな風に考えることもできそうです。
f(x)=\frac{1}{1^2}x^1+\frac{1}{2^2}x^2+\frac{1}{3^2}x^3+\frac{1}{4^2}x^4+\cdots
$$と置くときの、$$
f(1)
$$の値