必ず見つかる等差数列
T.Tao, A quantitiative ergodic theory proof of Szemerédi's theoremを読んでいきます。
ただでさえややこしい内容である上に全部英語なので、自分の中での理解を確かめるために学んだことをブログにまとめられたらな〜〜〜と思っております。
本記事はそのイントロダクションということで、↓の2つの定理を紹介します。
任意の自然数に対して、ある自然数が存在して、任意の色づけに対して同色で塗られた長さの等差数列が存在する。
任意の自然数と実数に対して、ある自然数が存在して、すべてのに対してかつを満たすには長さの等差数列が存在する。
すごそう(小並感)
続きを読むウォ!リスの公式 ё(・ω・=)@
1から順に自然数を2つずつ用意して並べます(最初は1つだけ)$$
1\ 2\ 2\ 3\ 3\ 4\ 4\ 5\ 5\ 6\ 6\ \cdots
$$ジグザグに並べます\begin{align}
1\ 3\ 3\ 5\ 5\ 7\ 7\ \cdots \\
2\ 2\ 4\ 4\ 6\ 6\ 8\ \cdots
\end{align}それぞれの数字の積と見て、間に線を引いて分数と見ます。$$
\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\cdot\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\cdot\frac{5\cdot 7}{6\cdot 6} \cdots
$$この値はなーんだ?
ランベルトの連分数を頑張って導出してみた
本記事は数学〈超絶〉難問のQ73について書きます。
- 作者: 小野田博一
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続きを読むQ.73 『ランベルトの連分数』
$$
\tan x = \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-\frac{x^2}{7-\frac{x^2}{9-\cdots}}}}}
$$
これは1766年に J. H. Lambert(1728年〜1777年)が発見した,有名な連分数です。
あなたはこれを導けますか?
母関数とバーゼル問題
以前このような式を紹介しました。$$
\frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots
$$この右辺は、こんな風に考えることもできそうです。
f(x)=\frac{1}{1^2}x^1+\frac{1}{2^2}x^2+\frac{1}{3^2}x^3+\frac{1}{4^2}x^4+\cdots
$$と置くときの、$$
f(1)
$$の値
冪級数に憧れて
本日の主役はさんです。こんにちは。
を書くとこんなグラフになります。
彼には冪級数(べき級数)への憧れがありました。
冪級数とは、やのように、の冪乗の和(正確には無限和)で表されるものです。
前回の母関数も冪級数です。
canaan1008.hatenablog.com
果たしてさんを冪級数で表すとどのようになるのでしょうか?
実際にやってみましょう。
母関数は数列のギフトラッピング
貰った人も貰ってない人も、渡した人も渡してない人も、この時期はいろんなプレゼントが贈られる時期でしょう。
しかしどんなプレゼントを用意したらいいかわからない…というそこのあなた!
母関数をプレゼントしてみてはいかがでしょう?
今回は特別にその作り方を公開します。
みなさんも是非作ってみましょう。
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